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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=combinatorics,combination
!set gl_title=Coefficient binomial
!set gl_level=H6 Gnrale&nbsp;Complmentaire, H6 technologique
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<div class="wims_defn">
  <h4>Dfinition</h4>
Soit \(n\) et \(k\) deux entiers naturels tels que 
<span class="nowrap">\(k \leqslant n\).</span><br>
On considre une exprience alatoire constitue de la rptition de \(n\)
 preuves de Bernoulli identiques et indpendantes, reprsente par un arbre.<br>
L'entier \(\displaystyle{\binom{n}{k}}\) est le nombre de chemins de l'arbre 
ralisant \(k\) succs pour les \(n\) rptitions de l'preuve.
</div>
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<div class="wims_rem">
  <h4>Cas particuliers</h4>
  <ul>
    <li>
    Pour tout entier naturel <span class="nowrap">\(n\),</span> \(\displaystyle{\binom{n}{0}=1}\) et
    <span class ="nowrap">\(\displaystyle{\binom{n}{n}=1}\).</span>
    </li>
    <li>
    Pour tout entier naturel non nul <span class="nowrap">\(n\),</span> \(\displaystyle{\binom{n}{1}=n}\) et
    <span class ="nowrap">\(\displaystyle{\binom{n}{n-1}=n}\).</span>
    </li>
  </ul>
</div>
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<div class="wims_thm">
  <h4>Thorme</h4>
Pour tout \(n \in \NN\) et pour tout \(k \in \NN\) tel que 
<span class="nowrap">\(0\leqslant k \leqslant n\) :</span>
  <ul>
    <li><span class="nowrap">\(\displaystyle{\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}}\) ;</span>
    </li>
    <li>si <span class ="nowrap">\(k \ne n\),</span> <span class ="nowrap">\(\displaystyle{\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}}\).</span>
    </li>
  </ul>
</div>
